Widmen wir uns heute einem besonders brisanten Thema, dessen enorme Tragweite von der Presse bisher verkannt wird.
Man stelle sich die einfache Frage: “Wie viel Platz bleibt übrig, wenn man einen unendlichen Raum so dicht wie möglich mit Kugeln füllt?”. Der große deutsche Mathematiker und Astronom Johannes Keppler (1571-1630) vermutete, dass sich höchsten 74% des Raums (genauer Pi geteilt durch die Quadratwurzel von 18 Prozent) mit Kugeln füllen lassen. Wem nützt diese Erkenntnis etwas? Nun, der Obsthändler weiß, dass er gar nicht erst versuchen muss, seine Orangen anders als pyramidenförmig aufzubauen. Und der Festkörperphysiker lernt etwas über die Natur von Kristallen. Denn viele Kristalle, also geordnete, erstarrte Flüssigkeiten von Kupferdrähten bis zu Tieftemperatur-Edelgaskristallen nehmen auf Atomebene gerne solche dichtesten Kugelpackungen ein. Wenn man versucht, Kugeln möglichst dicht zu packen, stellt man schnell fest, dass jede Kugel dabei zwölf Nachbarn erhält. Die 12 heißt in der Geometrie Kusszahl. Stapelt man die Kugeln in dichtesten Ebenen übereinander, gibt es zwei grundsätzliche Möglichkeiten: jede zweite Ebene ist wieder gleich (ABABABAB… Stapelung) oder jeder dritte Ebene ist wieder gleich (ABCABCABC… Stapelung):
Falls Sie diesen Artikel an einem PC lesen, ist er mit einiger Wahrscheinlichkeit durch eine ABAB-Stapelung mit dem Internet verbunden – Netzwerkkabel bestehen aus mehreren Kupferadern und das metallische Kupfer ist ein ABCABC…-Kristall mit dichtester Packung seiner Kupferatome. Physiker nennen dass kubisch flächenzentriert, da man den Kristall aufbauen kann, indem man kleine Würfel aneinanderreiht, die in allen Eckpunkten und in allen Flächenmitten einen Kugelmittelpunkt – ein Atom – besitzen. Dass die Kugelpackung eine solche periodische Ordnung besitzt, ermöglicht auch das einfache Berechnen der Packungsdichte. Anstatt das Volumen aller Kugeln des unendlichen Raumes zu bestimmen, berechnet man nur das Volumen, das die Kugeln in dem Würfel einnehmen und das Volumen des Würfels. Da die Kugelpackung sich aus unendlich vielen dieser Würfel zusammensetzt, entspricht das Verhältnis der beiden Volumina der Packungsdichte im unendlichen Raum.
Obwohl es ganz offensichtlich scheint, dass man Kugeln in einem unendlich Raum nicht noch dichter packen kann, gibt es bis heute nur einen recht jungen und umstrittenen Computerbeweis für die Kepplersche Vermutung. Doch wie ändert sich die Situation, wenn man statt einem unendlichen Raum einen endlichen Raum mit Kugeln füllt? Dann hat man es mit endlichen Kugelpackungen zu tun. Um ihre Packungsdichte zu bestimmten, muss man das Verhältnis der Kugelvolumina zu dem eingenommen Volumen bestimmen. Doch halt, was ist denn das eingenommene Volumen? Die Kugeln können ja irgendwie im Raum verteilt sein! Deshalb definiert man das eigenommene Volumen als das Volumen der konvexen Hülle. Die konvexe Hülle (konvex: nach außen gewölbt) ist so definiert:
Jeder Punkt, der auf einer Verbindungslinie zwischen zwei Kugeln der Packung liegt, gehört zur konvexen Hülle.
Die konvexe Hülle umschließt, also alle Kugeln und kann z.B. so aussehen (das blau umrandete Volumen):
Wir fragen uns jetzt also: “Wir ordnet man Kugeln an, damit sie das Volumen ihrer konvexen Hülle am besten ausfüllen?”. Die beste Anordnung ist wurstförmig. Die Packung wird als Wurst bezeichnet und ihre Packungsdichte kann durch keine andere Anordnung unterboten werden:
Jetzt kommt die Einschränkung: bis zu einer Anzahl von 56 Kugeln. Ab 56 Kugeln ist die Wurstpackung plötzlich unterlegen. Bei 57, 58, 63 und 64 Kugeln gewinnt sie zwar noch, aber für jede größere Zahl bleibt sie unterlegen. Dieses seltsame Phänomen wird als Wurstkatatrophe bezeichnet. In den Naturwissenschaften und der Mathematik spricht man von Katastrophen nicht etwa dann, wenn die Drittmittel ausbleiben und die Studiengebühren erhöht werden, sondern wenn sich irgendetwas schlagartig ändert. Wie in diesem Fall die Optimalität einer Wurstpackung. Der Sieger bleibt die Clusterpackung, eine beliebige Anordnung von Kugeln ohne spezielle Symmetrien:
Wie die spezifische Clusterpackung für eine bestimmte Anzahl von Kugeln aussieht weiß man zwar meist nicht, aber es lässt sich beweisen, dass es sie gibt. Die Bezeichnung “Wurst” verdanken wir dem Mathematiker László Fejes Tóth. Er hat eine Vermutung aufgestellt, die der Wurst zu neuer Würde verhilft, die Wurstvermutung:
Ab einem fünfdimensionalen Raum tritt die Wurstkatastrophe nicht mehr auf. Dort ist die Wurst stets die beste Packung.
Kugeln im fünfdimensionalen Raum? Ja, Mathematiker lassen sich nicht so etwas Profanes wie Realität nicht beeindrucken, für sie gibt es Kugeln auch in n-dimensionalen Räumen. Ein Kugel ist dort definiert als ein Körper, dessen Oberfläche an jedem Punkt den gleichen Abstand zum Mittelpunkt hat. Im dreidimensionalen Fall ist dieser Abstand der Radius. Im Vierdimensionalen ist die Kugeloberfläche eben statt einer Fläche ein Volumen. Diese Oberfläche nennt man n-Sphäre: die 1-Sphäre ist die Randlinie eines zweidimensionalen Kreises, die 2-Sphäre die Oberfläche einer dreidimensionalen Kugel und so weiter. Einst stellte der Mathematiker Henri Poincaré (1854-1912) die weltberühmte Poincaré-Vermutung auf. Sie ist eines der sieben Millennium Probleme, die das Clay Mathematics Institute im Jahr 2000 ausgewählt hat. Für ihre Lösung wurde ein Preisgeld von einer Million Dollar ausgelobt. Die Poincaré-Vermutung lässt sich an diesem Bild verstehen:
Eine geschlossene Linie auf der Kugeloberfläche (der 2-Sphäre), lässt sich zu einem Punkt zusammenziehen, der auf der Kugeloberfläche liegt. Bei einer Torus-Oberfläche (Torus = Donut) hätte das nicht funktioniert. Die Poincaré-Vermutung sagt aus, dass für dreidimensionale Oberflächen das gleiche gilt: ein zweidimensionales Gummiband lässt sich so auf der dreidimensionalen Oberfläche so zusammenziehen, dass ein Punkt herauskommt, der auf der Oberfläche liegt. Das gilt auch für “verbeulte” Oberflächen. Eine anschauliche Konsequenz der Poincaré-Vermutung ist, dass man jeden Körper so ausbeulen kann, dass entweder eine Kugel, ein 1-Torus (ein Donut), ein 2-Torus (ein Donut mit Henkel), ein 3-Torus usw. daraus wird.
2002 geschah dann das Unvorstellbare. Grigori Perelman löste das Millennium-Problem und bewies die Poincaré-Vermutung. Nachdem Mathematiker aus aller Welt über mehrere Jahre den Beweis geprüft hatten, kamen sie zu dem Schluss, dass er tatsächlich korrekt war. Dem russischen Mathematiker wurde das Eine-Million-Dollar-Preisgeld zugesprochen. Außerdem sollte er die Fields-Medaille erhalten, die für Mathematiker mit einem Nobelpreis gleichbedeutend ist (es gibt keinen Mathematik-Nobelpreis). Perelman reagiert wie es wohl jeder getan hätte: er lehnte das Preisgeld und die Fields-Medaille ab und zog wieder bei seiner Mutter ein. Das Haus verlässt er nicht. Nur ausgewiesenen Experten auf seinem Fachgebiet wird eine Audienz gewährt.
Nun würde für gewöhnlich der Teil folgen, in dem ich von den zahlreichen faszinierenden Anwendungsgebieten der Wurst- und Poincaré-Vermutung schwärme. Nun, ganz offensichtlich ist mein zwölfdimensionales Denken nicht ausgeprägt genug und so schließe ich stattdessen mit einem Zitat von Bismarck (1865-1898):
Gesetze sind wie Würste, man sollte besser nicht dabei sein, wenn sie gemacht werden.
Und füge hinzu:
Dreidimensionale Wurstpackungen sind wie Gesetze, je länger sie sind, desto näher ist die Katastrophe.
Quellen:
Wikipedia: Sphere packing
Theorie der endlichen Kugelpackungen
Poincaré-Vermutung
Max Leppmeier: Kugelpackungen von Kepler bis heute (Buch)
Charles Kittel: Festkörperphysik (Buch)